Calcul littéralDévelopper, factoriser, démontrer : les identités remarquables

POUR COMMENCER

Point de départ

En 4^e, tu as appris à développer $k(a+b)$ et à réduire une expression. Ce chapitre franchit trois paliers :

• la double distributivité $(a+b)(c+d)\text{,}$ que l’on démontrera au lieu de l’admettre ;
• les trois identités remarquables, démontrées par le calcul et par la géométrie : trois formules qui rendent le calcul rapide $\text{(}201^2$ ou $84^2-16^2$ de tête) et qui permettent de factoriser ;
• l’usage de la lettre pour démontrer un résultat vrai pour tous les nombres : « la somme de cinq entiers consécutifs est toujours un multiple de $5\text{ »}$ se vérifie sur des exemples, mais sa preuve générale demande un raisonnement valable pour tout entier.

Où cela mène : au chapitre 02, après Thalès direct, la factorisation débloquera la résolution d’équations comme $x^2-16=0$ (équations produits) ; au Brevet, les programmes de calcul et la factorisation de $a^2-b^2$ sont des classiques ; au lycée, ces identités servent notamment à transformer des expressions avec des racines carrées, à compléter un carré et, plus tard, à dériver des fonctions.

Aucune virtuosité calculatoire n’est attendue : la difficulté de ce chapitre n’est jamais la longueur des calculs. Il faut reconnaître l’opération principale, justifier une transformation et contrôler qu’une égalité reste vraie. Les formules seront construites progressivement ; ne les apprends pas avant de les avoir comprises.

Au TD : bloc « Réactivation express » (chapitres précédents)

ACTIVITÉ D’INTRODUCTION

Le carré qui s’agrandit

Situation. Un maraîcher possède un potager carré de $10\text{ m}$ de côté. Il l’agrandit de $2\text{ m}$ dans les deux directions : le potager reste carré, de côté $12\text{ m.}$

1. D’abord, sans aucun nombre. Regarde le côté du potager passer de $a$ à $a+b$ (ici, de $10$ à $12\text{) :}$ comment vois-tu la figure grandir ? Cherche où se place la surface gagnée et comment la découper en carrés et en rectangles ; puis demande à la figure de la colorier, puis de la découper (boutons « Colorier la surface gagnée » et « La découper »). Donne, pour ta façon de voir, une expression de l’aire du grand carré. (Il y a plusieurs façons de découper : chacune donne une expression différente, garde la tienne ; « La découper autrement » en montre une deuxième.)

2. Karim affirme : « L’aire gagne $2^2=4{\text{ m}}^2\text{,}$ puisque chaque côté gagne $2\text{ m. »}$ Calcule l’ancienne aire et la nouvelle aire. Karim a-t-il raison ?

3. Complète le tableau suivant, puis vérifie tes réponses :

4. Que constates-tu ? L’égalité $(a+b{)}^2=a^2+b^2$ semble-t-elle vraie ? Compare chaque écart avec le produit $a\times b\text{ :}$ quelle conjecture peux-tu formuler sur la valeur exacte de $(a+b{)}^2\text{?}$

5. Reprends le carré de côté $a+b\text{,}$ sans choisir de valeurs pour $a$ et $b\text{ :}$ sur la figure, choisis « Avec des lettres ». Fais-y apparaître toute son aire avec « La découper » ; justifie les dimensions de chaque pièce. Compare ensuite ce découpage à une autre façon d’organiser la surface, « La découper autrement » : quelle relation y a-t-il entre les deux expressions d’aire obtenues, et comment chacune explique-t-elle le terme observé dans le tableau ?

Le bilan de l’activité s’affichera ici dès que ta conjecture de la question 4 sera trouvée.

1 · LE STATUT DE LA LETTRE

Expression littérale et valeur numérique

Pour s’entraîner, en fin de partie : modèle V1, « Calculer la valeur d’une expression pour une valeur donnée ».

1 · LE STATUT DE LA LETTRE

Somme et produit : la nature d’une expression

Pour s’entraîner, en fin de partie : modèle L1, « Dire si une expression est une somme ou un produit ».

1 · LE STATUT DE LA LETTRE

Opposé d’une expression

Pour s’entraîner, en fin de partie : modèle L2, « Donner l’opposé d’une expression ».

1 · LE STATUT DE LA LETTRE

Écrire « pair », « impair », « multiple de », « consécutifs »

1 · LE STATUT DE LA LETTRE

Tester une formule ne suffit pas à la démontrer : la pyramide de cubes

Une pyramide comporte $1$ cube au premier étage, $4$ cubes au deuxième, $9$ cubes au troisième, et ainsi de suite : l’étage numéro $k$ contient $k^2$ cubes. On note $S_n$ le nombre total de cubes d’une pyramide à $n$ étages. On lit $S_n$ $\text{« }S$ indice $n\text{ ».}$ En clair : l’indice précise le nombre d’étages dont on parle ; ainsi $S_3$ est le total pour trois étages.

1. Calculer $S_1\text{,}$ $S_2\text{,}$ $S_3$ et $S_4\text{.}$ On obtient $S_1=1\text{,}$ $S_2=1+4=5\text{,}$ $S_3=1+4+9=14$ et $S_4=1+4+9+16=30\text{.}$
2. Trois formules sont proposées :
   $\begin{array}{c}{A}_n=n^2,\\ B_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\\ C_n={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2.\end{array}$
   Les formules $A_n$ et $C_n$ sont-elles toutes deux réfutées dès $n=2\text{?}$ Vérifier que $B_n$ donne bien les quatre valeurs de la question 1.
   Voir la réponse

   Oui : $A_2=2^2=4$ et $C_2={\left(\frac{2\times 3}{2}\right)}^2=9\text{,}$ alors que $S_2=5\text{.}$ En revanche, $B_1=\frac{1\times 2\times 3}{6}=1\text{,}$ $B_2=\frac{2\times 3\times 5}{6}=5\text{,}$ $B_3=\frac{3\times 4\times 7}{6}=14$ et $B_4=\frac{4\times 5\times 9}{6}=30\text{.}$

3. Ces quatre accords prouvent-ils que $B_n=S_n$ pour tout entier $n\ge 1\text{?}$ Non : ils montrent seulement que la formule résiste à quatre tests. Une preuve générale pourrait partir du cas $n=1\text{,}$ puis montrer que la formule ajoute exactement $n^2$ cubes à chaque passage de $n-1$ à $n$ étages, pour tout entier $n\ge 2\text{.}$
4. En admettant la formule $S_n=B_n\text{,}$ calculer le nombre de cubes pour $20$ étages : $S_{20}=\frac{20\times 21\times 41}{6}=10\times 7\times 41=2870\text{.}$

Leçon de méthode. Une valeur qui ne convient pas suffit à éliminer une formule universelle ; des valeurs qui conviennent, même nombreuses, ne la démontrent pas. Tester sert à réfuter ou à contrôler, jamais à remplacer une preuve.

1 · LE STATUT DE LA LETTRE

Lecture guidée : les quatre sens du signe « = » sur le carré de mosaïque

Soit $n\ge 2$ un entier. On borde un carré avec des carreaux de mosaïque : dans le carré de taille $n$ $\text{(}n$ carreaux par côté), seule la couronne extérieure est carrelée. On note $C$ le nombre de carreaux de la couronne.

Une même figure, quatre usages du signe « = » :

1. Une formule. Sur chaque côté, entre les deux coins, il reste $n-2$ carreaux ; en ajoutant les $4$ coins :
   $C=4\times (n-2)+4.$
   Ici, $\text{« }=\text{ »}$ relie deux grandeurs : $C$ dépend de $n\text{.}$
2. Une identité. En découpant autrement : quatre bandes de $n-1$ carreaux qui tournent autour du carré, chaque bande emportant un coin : on compte $C=4\times (n-1)\text{.}$ Deux comptages des mêmes carreaux, donc, pour tout entier $n\ge 2\text{ :}$
   $4(n-2)+4=4(n-1).$
   Ici, $\text{« }=\text{ »}$ signifie « toujours égal ». C’est une preuve par double comptage, et le calcul la confirme : $4(n-2)+4=4n-8+4=4n-4=4(n-1)\text{.}$
3. Une évaluation. Pour $n=8\text{ :}$ $C=4\times 7=28\text{;}$ pour $n=100\text{ :}$ $C=4\times 99=396\text{.}$ Ici, $\text{« }=\text{ »}$ affecte une valeur : on remplace la lettre, on calcule.
4. Une équation. Peut-on carreler une telle couronne avec $482$ carreaux ? On cherche tous les entiers $n$ tels que $4(n-1)=482\text{ :}$ ici, $\text{« }=\text{ »}$ exprime une condition sur l’inconnue. Or $4(n-1)$ est un multiple de $4$ et $482$ n’en est pas un $\text{(}482=4\times 120+2\text{) :}$ l’ensemble des solutions est vide. Avec $492$ carreaux, en revanche, $n-1=123\text{,}$ donc $n=124\text{.}$ Selon l’équation et le domaine, l’ensemble des solutions peut être vide, contenir une ou plusieurs valeurs (éventuellement une infinité) ou coïncider avec le domaine entier.

Bilan. Formule (relation entre grandeurs), identité (égalité affirmée sur tout un domaine), évaluation (valeur obtenue par substitution), équation (condition dont on cherche toutes les solutions) : quatre usages d’un même signe. Ce chapitre travaille surtout les identités ; les équations produits seront étudiées au chapitre 02.