Les trois identités remarquables

Outil de démonstration : double comptage d’une aire.

On considère un grand carré de côté $a+b\text{,}$ partagé comme sur la figure ci-dessous en deux carrés (de côtés $a$ et $b\text{)}$ et deux rectangles égaux (de dimensions $a$ et $b\text{).}$

Pour tous nombres réels $a$ et $b\text{ :}$

Le terme $2ab$ s’appelle le double produit. Ces égalités sont des identités : elles sont vraies pour toutes les valeurs de $a$ et $b\text{.}$

On lit $(a+b{)}^2$ $\text{« }a$ plus $b\text{,}$ le tout au carré » : les parenthèses signalent que c’est la somme entière qui est élevée au carré ; on lit $a^2+2ab+b^2$ $\text{« }a$ au carré, plus deux $a$ $b\text{,}$ plus $b$ au carré ». En clair : le carré d’une somme n’est pas la somme des carrés, il faut lui ajouter le double produit ; le carré d’une différence lui ressemble, le double produit étant retranché ; et le produit de la somme par la différence des mêmes nombres est la différence de leurs carrés. « Pour tous nombres réels $a$ et $b\text{ »}$ signifie que l’on peut remplacer $a$ et $b$ par n’importe quels nombres, négatifs ou décimaux compris, sans que l’égalité cesse d’être vraie.

La preuve géométrique rend visible l’origine du double produit : deux rectangles d’aire $ab\text{.}$ Elle suppose toutefois que $a$ et $b$ représentent des longueurs positives. La preuve algébrique traite aussi les valeurs négatives. Par exemple, avec $a=-3$ et $b=5\text{ :}$

et

Le dessin donne l’idée ; le calcul fixe le domaine complet de validité.

Les égalités $(a+b{)}^2=a^2+b^2$ et $(a-b{)}^2=a^2-b^2$ ne sont pas des identités.

Contre-exemple chiffré pour la première égalité (un seul suffit !) : pour $a=3$ et $b=4\text{ :}$

Ce qui manque, c’est le double produit $2ab=2\times 3\times 4=24\text{,}$ et $25+24=49\text{.}$ Ce contre-exemple réfute la phrase « pour tous $a$ et $b\text{ »;}$ il ne dit pas que l’égalité échoue pour chaque couple de valeurs. Pour la seconde égalité, trouver un contre-exemple est l’objet de l’exercice 2.4 b) du TD. La mise au carré ne « traverse » pas les additions : elle ne traverse que les multiplications, car $(ab{)}^2=a^2{b}^2\text{.}$

Outil de démonstration : double comptage d’une aire, puis isolement du carré cherché.

Cette fois, on part d’un grand carré de côté $a\text{,}$ et le carré étudié, de côté $a-b\text{,}$ est à l’intérieur : c’est le coin en bas à gauche de la figure ci-dessous.

1. Le grand carré, d’aire $a^2\text{,}$ est partagé en quatre morceaux : le carré d’aire $(a-b{)}^2\text{,}$ deux rectangles de dimensions $b$ et $a-b\text{,}$ et un petit carré d’aire $b^2\text{.}$ Donc :
   $\begin{array}{rl}& a^2\\ & =(a-b{)}^2+2b(a-b)+b^2.\end{array}$
2. On isole le carré évidé :
   $\begin{array}{rl}& (a-b{)}^2\\ & =a^2-2b(a-b)-b^2.\end{array}$
3. On développe $2b(a-b)=2ab-2b^2$ (distributivité simple) :
   $\begin{array}{rl}& (a-b{)}^2\\ & =a^2-2ab+2b^2-b^2\\ & =a^2-2ab+b^2.\end{array}$
   Donc, pour tous réels $a$ et $b$ tels que $0<b<a\text{,}$ $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2\text{. }■$

Outil de démonstration : découpage et recollement, l’aire étant conservée.

1. Sur la figure de départ : dans un carré de côté $a$ (aire $a^2\text{),}$ on retire un petit carré de côté $b$ dans un coin. La surface restante, en forme de L, a pour aire $a^2-b^2\text{.}$
2. On découpe ce L en deux pièces le long du trait pointillé : la pièce ①, rectangle $a\times (a-b)\text{,}$ et la pièce ②, rectangle $b\times (a-b)\text{.}$
3. On fait pivoter la pièce ② et on la recolle au bout de la pièce ① : on obtient un rectangle de largeur $a-b$ et de longueur $a+b\text{,}$ donc d’aire $(a+b)(a-b)\text{.}$
4. Découper et recoller ne change pas l’aire. Donc, pour tous nombres réels $a$ et $b$ tels que $0<b<a\text{,}$ $a^2-b^2=(a+b)(a-b)\text{. }■$

Une identité est une égalité entre deux expressions littérales qui est vraie pour toutes les valeurs des lettres : c’est le cas de $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2\text{.}$ Deux expressions reliées par une identité sont dites égales : elles ont la même valeur pour toutes les valeurs des lettres. Un contre-exemple à une affirmation « pour tout nombre » est un cas précis où elle est fausse : une valeur des lettres pour laquelle les deux membres n’ont pas la même valeur.

On lit $9\ne 5$ $\text{« }9$ est différent de $5\text{ ».}$ En clair : une identité ne tombe jamais en panne ; il suffit d’une seule panne, un contre-exemple, pour qu’une égalité ne soit pas une identité.