Ich unterrichte auf Französisch; meine Kursunterlagen zum Herunterladen (PDF) sind auf Französisch. Ich spreche noch kein Deutsch. Wenn man mir eine Chance gibt, bin ich bereit, alle Anstrengungen für meine sprachliche Integration zu unternehmen. Ich habe diese Seite mit Hilfe künstlicher Intelligenz übersetzt und hoffe, dass sie keine Fehler enthält.
Pädagogisches Portfolio · Mathematik
Klar erklären, durch Handeln verstehen, anspruchsvoll üben.
Als Mathematiklehrer in Frankreich plane ich, künftig in der Schweiz zu unterrichten. Dieses Portfolio gibt anhand authentischer Unterlagen Einblick in meinen Unterrichtsalltag (Merktexte, Übungsserien, Musterlösungen und anonymisierte Prüfungen auf dem Niveau der 3e, also 14–15 Jahre: entspricht dem 11. Schuljahr (HarmoS)).
Ich setze auf einen expliziten und klar strukturierten Unterricht: Ich vermittle die Methoden direkt, begleite deren erste Anwendung und festige das Gelernte durch regelmässiges Üben. Die Prüfung dient mir anschliessend als diagnostisches Instrument, um die gezielte Förderung zu organisieren — ein Vorgehen und ergänzende Materialien, die ich an den Lehrplan 21 und die kantonalen Lehrmittel anpassen werde.
Im Folgenden stelle ich Ihnen meine Arbeitsweise in fünf Säulen vor: die Kursunterlagen verstehen, das schriftliche Begründen beherrschen, im eigenen Tempo üben, an Selbstständigkeit gewinnen und gezielt auf Bedürfnisse eingehen. Jede Säule stützt sich auf echte Unterlagen aus meinen Klassen, die Sie direkt auf dieser Seite öffnen können.
Säule 1 · Die Kursunterlagen verstehenKursunterlagen vorgestellt und erklärt · mündlicher Austausch · interaktive Figuren · Synthese an der Wandtafel
Vom erklärten Lesen zum aktiven Erproben
Bei einem neuen Begriff führe ich die Schülerinnen und Schüler direkt durch den Merktext. Um Hürden durch die mathematische Symbolsprache abzubauen, wird jede Schreibweise im ständigen Austausch mit der Klasse zunächst in Worte gefasst („On lit…“, „man liest…“) und anschliessend in Alltagssprache umformuliert („En clair…“, „im Klartext…“).
Sobald sich eine Eigenschaft veranschaulichen lässt, macht eine dynamische Figur die Invarianten sichtbar: Indem die Schülerinnen und Schüler beobachten, was sich verändert und was unverändert bleibt, erschliessen sie sich den Sinn der Regel. Hier sind vier interaktive Beispiele aus meinen Kursunterlagen der 3e (entspricht dem 11. Schuljahr (HarmoS)) zu ähnlichen Dreiecken und zum Rechnen mit Termen sowie der zugehörige Merktext.Hier ist ein interaktives Beispiel aus meinen Kursunterlagen der 3e (entspricht dem 11. Schuljahr (HarmoS)) zum Rechnen mit Termen sowie der zugehörige Merktext.
Auszug aus den Kursunterlagen über ähnliche Dreiecke · §2.1 und §2.2 — der Klasse vorgestellt und erklärt
Definition: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn man ihre Eckpunkte paarweise so einander zuordnen kann, dass die Längen der einander entsprechenden Seiten proportional sind. Der Faktor ist der Ähnlichkeitsfaktor k > 0. Charakterisierung über die Winkel: Zwei Dreiecke sind genau dann ähnlich, wenn ihre Winkel paarweise gleich gross sind.
🗣️ „On lit…“ („man liest…“ – mündliche Übersetzung an der Tafel):
• A'B'AB = k liest man „A Strich B Strich durch AB gleich k“: Das bedeutet A'B' = k × AB.
• Die Schreibweise ABC∼A'B'C' gibt die Reihenfolge der einander entsprechenden Eckpunkte an: A ↔ A', B ↔ B', C ↔ C'.
💡 „En clair…“ („im Klartext…“): Die gleiche Form zu haben bedeutet, gleich grosse Winkel zu haben; und gleich grosse Winkel zu haben bedeutet, proportionale Seiten zu haben.
Frage an die Klasse, anschliessend an der Figur aus den Kursunterlagen getestet:
Auszug aus den Kursunterlagen über ähnliche Dreiecke · §3.2 — „Schmetterlings“-Konfiguration
Die Strecken [BD] und [CE] schneiden sich in ihrem Inneren im Punkt A, und es gilt (BC) ∥ (DE). Die Dreiecke ABC und ADE bilden die „Schmetterlings“-Konfiguration.
• BAC = DAE: Scheitelwinkel.
• ABC = ADE: Wechselwinkel an den Parallelen (BC) und (DE) mit der Schnittgeraden (BD).
Also sind ABC und ADE ähnlich (A ↔ A, B ↔ D und C ↔ E), und man rechnet wie gewohnt: zuordnen, aufstellen, lösen.
🗣️ Warum die Figur mit den Schülerinnen und Schülern animieren? Auf einer statischen Figur ordnen Schülerinnen und Schüler die Seiten [AB] und [AE] fälschlicherweise einander zu, weil sie „auf derselben Seite“ liegen. Die Halbdrehung um A und die anschliessende Vergrösserung zeigen, wie B auf D und C auf E zu liegen kommt: Die Zuordnung der Eckpunkte wird sichtbar.
Auszug aus den Kursunterlagen zum Rechnen mit Termen · Teil 1 — die vier Bedeutungen des Zeichens „=“
In einem Quadrat mit n Kacheln pro Seite (n ≥ 2) ist nur der äussere Rand gekachelt. Man bezeichnet mit C die Anzahl der Kacheln des Randes:
1. Eine Formel: Auf jeder Seite liegen zwischen den 2 Ecken n − 2 blaue Kacheln; mit den 4 orangen Ecken ergibt das: C = 4(n − 2) + 4. 2. Eine Identität (doppeltes Abzählen): Teilt man den Rand in 4 Streifen zu je n − 1 Kacheln auf, die rings um das Quadrat verlaufen, zählt man dieselben Kacheln: 4(n − 2) + 4 = 4(n − 1) („immer gleich“). 3. Eine Auswertung: Für n = 8 ist C = 4 × (8 − 1) = 28; für n = 100 ist C = 396. 4. Eine Gleichung: Gesucht ist n mit 4(n − 1) = 482: keine ganzzahlige Lösung, da 482 kein Vielfaches von 4 ist; mit 492 erhält man n = 124.
🎯 Was die Schülerinnen und Schüler beim Wechsel von einer Zerlegung zur anderen verstehen: Die Terme 4(n − 2) + 4 und 4(n − 1) zählen dieselben Kacheln auf zwei verschiedene Arten. Die Rechnung 4(n − 2) + 4 = 4n − 8 + 4= 4n − 4 = 4(n − 1) bestätigt, was das Auge gerade gesehen hat.
Auszug aus den Kursunterlagen zum Rechnen mit Termen · §3.2 — die binomischen Formeln
Für alle reellen Zahlen a und b gilt: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Der Term 2ab heisst doppeltes Produkt.
🗣️ „On lit…“ („man liest…“): Man liest (a + b)2 als „a plus b, das Ganze zum Quadrat“: Die Klammern zeigen an, dass die gesamte Summe quadriert wird; man liest a2 + 2ab + b2 als „a zum Quadrat, plus zwei a b, plus b zum Quadrat“.
💡 „En clair…“ („im Klartext…“): Das Quadrat einer Summe ist nicht die Summe der Quadrate; man muss das doppelte Produkt dazuzählen.
⚠️ Die zentrale Stolperfalle des Kapitels:(a + b)2 = a2 + b2 ist keine Identität. Für a = 3 und b = 4 gilt: (3 + 4)2 = 72 = 49, aber 32 + 42 = 9 + 16 = 25. Was fehlt, ist das doppelte Produkt 2ab = 2 × 3 × 4 = 24, und 25 + 24 = 49.
🎯 Ein Bild, auf das man immer wieder zurückgreifen kann: Wenn eine Schülerin oder ein Schüler im Laufe des Jahres x2 + 9 statt (x + 3)2 schreibt, genügt die Frage: „Wo sind die beiden Rechtecke des Quadrats geblieben?“
Die Wandtafel als Gedächtnis der Lektion: das Bansho
Dieser Austausch mit der Klasse mündet in eine Synthese, die nach einem im Voraus erstellten Plan an der Wandtafel aufgebaut wird. Ich orientiere mich dabei am Bansho (板書, „Schreiben an der Wandtafel“), einer Praxis, die in Japan im Zentrum der Mathematiklektionen steht und in anderen Ländern Asiens wie Thailand sowie später von Lehrpersonenteams in Europa und Nordamerika übernommen wurde.
Ziel ist es nicht, die Kursunterlagen abzuschreiben: Meine Schülerinnen und Schüler haben sie bereits in gedruckter Form. Das Tafelbild ergänzt sie um eine gemeinsam mit der Klasse erarbeitete Synthese und hält fest, was die Kursunterlagen nicht enthalten können: den zurückgelegten Weg. Es liest sich von links nach rechts: das Problem des Tages, die einander gegenübergestellten Antworten der Schülerinnen und Schüler, die widerlegten Fehler, durchgestrichen, aber weiterhin lesbar, und schliesslich die Synthese. Während der Lektion wird nichts weggewischt.
So können die Schülerinnen und Schüler auf einen Blick nachvollziehen, wovon man ausgegangen ist, was ausprobiert wurde und warum eine Idee verworfen wurde. Die Synthese stützt sich auf ihre Antworten; nach der Diskussion schreiben sie diese als Ergänzung zu den gedruckten Kursunterlagen ab. Dieses Tafelbild vorzubereiten heisst auch, die Lektion vorzubereiten: Ich plane im Voraus, wo ich welche Idee notiere, welche Fragen ich stelle und was sichtbar bleibt.
Rote Linie: Der Faktor für die Flächen ist k2 (nur für k = 1 gleich k).
Umgekehrte Richtung (A3): Flächenverhältnis = k2, dann k > 0 bestimmen.
Das für das Ende der Lektion geplante Tafelbild.Links die Problemstellung, in der Mitte die Erarbeitung und der Beweis, rechts die Synthese.Oben die Problemstellung, dann die Erarbeitung und der Beweis, schliesslich die Synthese. Klicken Sie auf „Aufbau des Tafelbilds ansehen“, um die Lektion Schritt für Schritt mitzuverfolgen.
Übersetzte Wiedergabe meiner Tafelbild-Planung für eine Lektion in der 3e (entspricht dem 11. Schuljahr (HarmoS)) zum Thema Vergrösserungen und Verkleinerungen im Kapitel über ähnliche Dreiecke. Originalplanung ansehen (PDF, auf Französisch)
Säule 2 · Das schriftliche Begründen beherrschenDas Warum · die Fragen, die man sich stellt · eine Musterformulierung pro Aufgabentyp
Den Sinn hinter den Regeln aufzeigen und das Argumentieren modellieren
Weil eine bloss mechanisch auswendig gelernte Regel nicht langfristig haften bleibt und ein isoliertes Ergebnis in der Mathematik nicht genügt, wird jede Eigenschaft in den Kursunterlagen bewiesen oder begründet.
Um die Schülerinnen und Schüler beim Aufbau ihrer schriftlichen Argumentation zu unterstützen, verknüpfe ich jede Aufgabenfamilie mit einer schrittweise gegliederten Musterformulierung. Indem ich sie im Unterricht zu jedem Schritt die zugehörige Frage in eigene Worte fassen lasse und von den Kursunterlagen bis zu den Musterlösungen genau dieselbe Struktur beibehalte, eignen sich die Schülerinnen und Schüler eine verlässliche Methode an. Untenstehend finden Sie die Musterformulierung für den Nachweis, dass zwei Dreiecke anhand zweier Winkelpaare ähnlich sind – aus meinem Kapitel über ähnliche Dreiecke.
📓 Eine Musterformulierung, Schritt für SchrittBeispiel: in vier Schritten beweisen, dass zwei Dreiecke ähnlich sind: „Wir wissen, dass“, „Ebenso wissen wir, dass“, „Nun gilt“, „Also“. Aufklappen, um für jeden Schritt zu sehen, welche Frage sich die Schülerin oder der Schüler stellt und welche Zeile sie oder er aufs Blatt schreibt.
Klicken Sie auf einen Schritt: Die Frage, die man sich stellt (links), und die aufs Blatt geschriebene Zeile (rechts) werden gemeinsam hervorgehoben.
🤔 Die Fragen, die man sich stelltWas ich im Unterricht formulieren lasse
① „Welches erste Paar gleich grosser Winkel liegt vor, und aus welchem Grund?“
Die Kursunterlagen führen die möglichen Begründungen auf: Angabe in der Aufgabenstellung, gemeinsamer Winkel, Scheitelwinkel, Winkel an Parallelen, rechte Winkel, vorherige Teilaufgabe. Hier wurde in Teilaufgabe 1 gezeigt, dass FEM = GFN.
② „Wo findet man ein zweites Paar? Und warum genügen zwei?“
Die Geraden (FM) und (GN) sind parallel und werden von (EG) geschnitten: Die Winkel EFM und FGN sind Stufenwinkel. Zwei Paare genügen, da die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt: Das dritte Winkelpaar ist zwangsläufig ebenfalls gleich gross.
③ „Welche Eigenschaft aus den Kursunterlagen erlaubt mir die Schlussfolgerung?“
Die Charakterisierung über die Winkel, zitiert in der Form „Wenn…, dann…“. Die Schülerin oder der Schüler weiss, warum sie oder er diese Eigenschaft anführt: Erst sie macht aus zwei Winkelgleichheiten eine Ähnlichkeit.
④ „Welche Eckpunkte entsprechen einander?“
Die Scheitelpunkte gleich grosser Winkel sind einander entsprechende Eckpunkte. Wenn man die Zuordnung bereits in der Schlussfolgerung festhält, vermeidet man beim anschliessenden Rechnen, zwei nicht zusammengehörige Seiten einander zuzuordnen.
📓 Die Musterformulierung aus den KursunterlagenGleiche Nummerierung ① ② ③ ④
Die Aufgabenstellung zur Musterformulierung
Die Punkte E, F, G liegen in dieser Reihenfolge auf einer Geraden; die Dreiecke EFM und FGN liegen auf derselben Seite der Geraden (EG); (EM) ∥ (FN) und (FM) ∥ (GN). 1. Beweisen, dass FEM = GFN. 2. Beweisen, dass die Dreiecke EFM und FGN ähnlich sind.
✎ Auf dem Blatt (Text aus den Kursunterlagen, Teilaufgabe 2)
① Wir wissen, dassFEM = GFN, gemäss Teilaufgabe 1.
② Ebenso wissen wir, dassEFM = FGN, da es sich um Stufenwinkel an den Parallelen (FM) und (GN) mit der Schnittgeraden (EG) handelt.
③ Nun gilt: Wenn zwei Dreiecke zwei paarweise gleich grosse Winkel haben, dann sind sie ähnlich.
④ Also sind die Dreiecke EFM und FGN ähnlich, wobei die einander entsprechenden Eckpunkte E ↔ F, F ↔ G und M ↔ N sind. ↳ Auf dem Aufgabenblatt dient dieselbe Musterformulierung für die Aufgaben 1.3, 1.4, 2.2, 2.3, 2.4, 3.3, 3.4, 5.3, 6.1 und 6.2.
Säule 3 · Im eigenen Tempo übenFein abgestufte Progression · vernetzte Begriffe · drei Wege
Die ganze Klasse gemeinsam voranbringen – jede und jeden auf dem passenden Anspruchsniveau
Damit jede Schülerin und jeder Schüler ohne Langeweile oder Entmutigung an Sicherheit gewinnt, folgen meine Aufgabenserien einer fein abgestuften Progression: Von einer Aufgabe zur nächsten ändert sich jeweils nur eine einzige Schwierigkeit, und die Begriffe des aktuellen Kapitels werden mit jenen aus früheren Kapiteln verknüpft. Die ganze Klasse arbeitet mit demselben Aufgabenblatt, das in drei Wege (Grundlagenweg, empfohlener Weg, Vertiefungsweg) gegliedert ist und gemeinsam mit derselben Nummerierung besprochen wird. Das Ziel ist dreifach: Schülerinnen und Schüler mit Schwierigkeiten an das erwartete Niveau heranführen, das Mittelfeld der Klasse ermutigen, über sich hinauszuwachsen, und den Fortgeschrittenen ermöglichen, weiterzugehen. Eine reduzierte Fassung des Aufgabenblatts enthält nur die ersten beiden Wege; am Ende des Blatts öffnen vertiefende Herausforderungen den Horizont in Richtung Gymnasium.
Konkretes Beispiel · ein Begriff, vier Niveaus
Die Differenz zweier Quadrate – vom Kopfrechnen bis zum konjugierten Term
Um diese Progression zu veranschaulichen, verfolgen wir einen einzigen Begriff, die Differenz zweier Quadrate: (a + b)(a − b) = a2 − b2. Sie zieht sich durch das gesamte Aufgabenblatt zum Rechnen mit Termen. Hier sind vier echte Aufgaben, eine pro Niveau, mit der Musterlösung, welche die Schülerinnen und Schüler erhalten; die letzte, die über den Lehrplan der 3e hinausgeht, greift selbst wieder die Rechnung 102 × 98 aus dem Grundlagenweg auf. Wählen Sie einen Weg, um das zugehörige Beispiel anzuzeigen.
Grundlagenweg · Aufgabe 4.1 · ★★☆☆
Quadrate nahe bei runden Zahlen
Was ich mit diesem Weg anstrebe: die grundlegenden Handgriffe automatisieren, damit der Kopf für das Lösen von Problemen frei bleibt.
Aufgabenstellung Aufgabenblatt zum Rechnen mit Termen
Im Kopf berechnen, dabei die verwendete binomische Formel, die Berechnung jedes Terms und das Ergebnis aufschreiben und anschliessend kontrollieren.
c) 102 × 98 d) 103 × 97
Die sechs weiteren Teilaufgaben behandeln Quadrate: 1012, 992, 212, 192, 352, 1 0012.
Was dabei geübt wird
Eine Summe und eine Differenz rund um eine runde Zahl erkennen, vor dem Rechnen die binomische Formel hinschreiben, das Ergebnis anhand der Einerziffer und der Grössenordnung prüfen.
Ausführliche Musterlösung Text der ausgeteilten Musterlösung
Methode. Musterformulierung aus den Kursunterlagen: „ein Quadrat oder ein Produkt nahe bei einer runden Zahl im Kopf berechnen“.
c) Ich verwende (a + b)(a − b) = a2 − b2 mit a = 100 und b = 2, da 102 = 100 + 2 und 98 = 100 − 2.
102 × 98 = (100 + 2)(100 − 2) = 1002 − 22
= 10 000 − 4 = 9 996
Kontrolle: Die Einerziffer ist diejenige von 2 × 8 = 16, also 6, und 9 996 ist etwas kleiner als 1002 = 10 000. ✓
d) Ich verwende (a + b)(a − b) = a2 − b2 mit a = 100 und b = 3, da 103 = 100 + 3 und 97 = 100 − 3.
103 × 97 = (100 + 3)(100 − 3) = 1002 − 32
= 10 000 − 9 = 9 991
Kontrolle: Die Einerziffer ist diejenige von 3 × 7 = 21, also 1, und 9 991 ist etwas kleiner als 1002 = 10 000. ✓
Empfohlener Weg · Aufgabe 4.3 · ★★☆☆
Die Fläche zwischen zwei Quadraten
Was ich mit diesem Weg anstrebe: vollständig ausformulieren, die Plausibilität eines Ergebnisses prüfen und anschliessend mit einem Buchstaben verallgemeinern.
Aufgabenstellung Aufgabenblatt zum Rechnen mit Termen
Ein Quadrat mit 51 m Seitenlänge enthält ein Quadrat mit 50 m Seitenlänge, das in einer seiner Ecken liegt (Figur vom Aufgabenblatt, nicht massstabsgetreu).
a) Den Flächeninhalt des grauen Randes (die Fläche zwischen den beiden Quadraten) im Kopf berechnen.
b) Vor dem Bestätigen: Ist dieser Flächeninhalt plausibel? Der graue Rand ist ein L, das aus zwei 1 m breiten Streifen entlang von nur zwei benachbarten Seiten besteht; seinen Flächeninhalt ohne genaue Rechnung abschätzen und dann mit dem Ergebnis aus a) vergleichen.
c) Verallgemeinern: Für jede reelle Zahl n > 0 zeigen, dass der Flächeninhalt zwischen einem Quadrat der Seitenlänge n + 1 und einem Quadrat der Seitenlänge n, die wie in der Figur angeordnet sind, 2n + 1 beträgt. Wo ist man diesem Term im Kapitel bereits begegnet?
Was dabei geübt wird
Eine Fläche als Differenz zweier Quadrate ausdrücken, im Kopf rechnen, die Plausibilität prüfen und anschliessend mit einem Buchstaben verallgemeinern.
Ausführliche Musterlösung Text der ausgeteilten Musterlösung
Methode. Musterformulierungen aus den Kursunterlagen: „die Lösung einer Problemaufgabe verfassen“ (Teilaufgaben a und b, mit „im Kopf berechnen durch Erkennen der ausmultiplizierten Form einer binomischen Formel“ für die Rechnung); „beweisen, dass eine Gleichung für jede Zahl wahr ist“ (Teilaufgabe c).
a) Ich weiss, dass das grosse Quadrat 51 m Seitenlänge hat und dass das kleine Quadrat, das in einer Ecke des grossen liegt, 50 m Seitenlänge hat. Ich suche den Flächeninhalt 𝒜 des grauen Randes: Das ist der Flächeninhalt des grossen Quadrats minus der Flächeninhalt des kleinen Quadrats, also 𝒜 = 512 − 502, in m².
Ich verwende a2 − b2 = (a + b)(a − b) mit a = 51 und b = 50: 𝒜 = (51 + 50)(51 − 50) = 101 × 1 = 101.
Schlussfolgerung: Der graue Rand hat einen Flächeninhalt von 𝒜 = 101 m².
b) Überprüfung: Der graue Rand besteht aus zwei 1 m breiten Streifen; jeder ist etwa 50 m lang, woraus sich ein Flächeninhalt von etwa 2 × 50 × 1 = 100 m² ergibt: 101 m² ist plausibel. ✓
c) Der Flächeninhalt zwischen den beiden Quadraten ist der Flächeninhalt des grossen Quadrats minus der Flächeninhalt des kleinen Quadrats: Ich muss beweisen, dass (n + 1)2 − n2 = 2n + 1 gilt. Ich multipliziere die linke Seite aus.
Ich erhalte die rechte Seite. Also beträgt für jede Zahl n > 0 der Flächeninhalt zwischen den beiden Quadraten (n + 1)2 − n2 = 2n + 1. ■
In den Kursunterlagen ist der Term 2n + 1 die Darstellung einer ungeraden Zahl, wenn n ganzzahlig ist; er erscheint auch beim Ausmultiplizieren (n + 1)2 = n2 + 2n + 1 in Aufgabe 2.1 h): Es ist das, was man zu n2 addieren muss, um (n + 1)2 zu erhalten.
Vertiefungsweg · Aufgabe 5.5 · ★★★★
Die Differenz der Quadrate zweier aufeinanderfolgender ungerader Zahlen
Was ich mit diesem Weg anstrebe: von einigen Beispielen zu einem für alle Zahlen gültigen Beweis übergehen und dabei die effizienteste Schreibweise wählen.
Aufgabenstellung Aufgabenblatt zum Rechnen mit Termen
Anabelle behauptet: „Die Differenz der Quadrate zweier aufeinanderfolgender ungerader Zahlen ist immer ein Vielfaches von 8.“
a) Die Behauptung an (3 ; 5), (7 ; 9) und (11 ; 13) testen.
b) Zwei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen mithilfe einer ganzen Zahl n ausdrücken und anschliessend beweisen, dass die Behauptung von Anabelle wahr ist. Hinweis: Die Faktorisierung a2 − b2 ist schneller als das Ausmultiplizieren – mit der Musterformulierung aus den Kursunterlagen vergleichen.
c) Wo findet man im faktorisierten Ergebnis die Summe und den Abstand der beiden Ausgangszahlen wieder?
Was dabei geübt wird
Anhand von Beispielen testen und anschliessend für jede ganze Zahl beweisen; die effizienteste Schreibweise wählen (faktorisieren statt ausmultiplizieren); das Ergebnis interpretieren.
Ausführliche Musterlösung Text der ausgeteilten Musterlösung
Methode. Musterformulierungen aus den Kursunterlagen: „eine Behauptung an Beispielen testen und eine Vermutung aufstellen“ (Teilaufgabe a); „eine Eigenschaft ganzer Zahlen beweisen“ (Teilaufgabe b).
a)52 − 32 = 16 = 8 × 2; 92 − 72 = 32 = 8 × 4; 132 − 112 = 48 = 8 × 6. Diese drei Differenzen sind Vielfache von 8. ✓
b) Sei n eine beliebige ganze Zahl. Zwei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen schreiben sich als 2n + 1 und 2n + 3. Ich berechne die Differenz ihrer Quadrate durch Faktorisieren mit a2 − b2 = (a + b)(a − b), wobei a = 2n + 3 und b = 2n + 1:
Nun ist n eine ganze Zahl, also ist auch n + 1 eine ganze Zahl: 8(n + 1) ist ein Vielfaches von 8. Somit ist für jede ganze Zahl n die Differenz der Quadrate zweier aufeinanderfolgender ungerader Zahlen ein Vielfaches von 8: Die Behauptung von Anabelle ist wahr. ■
c) In (4n + 4) × 2 ist der Faktor 4n + 4 die Summe der beiden ungeraden Zahlen und der Faktor 2 ihr Abstand: Die Differenz zweier Quadrate schreibt sich als „Summe × Abstand“.
Merke. Alternativer Beweis zu b): Das Ausmultiplizieren mit (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ergibt 4n2 + 12n + 9 − (4n2 + 4n + 1) = 8n + 8. Da 8n und 8 Vielfache von 8 sind, ist auch ihre Summe ein Vielfaches von 8, und 8n + 8 = 8(n + 1) macht den Quotienten explizit.
Weiterführend · Aufgabe 8.3 · ★★★★ · über die 3e hinaus
Über die 3e hinaus: der konjugierte Term
Was ich mit diesem Weg anstrebe: den schnellsten Schülerinnen und Schülern Stoff zum Weiterdenken bieten und über den Lehrplan hinausgehen; für diese Aufgaben gibt es wie für alle anderen eine Musterlösung.
Aufgabenstellung Aufgabenblatt zum Rechnen mit Termen
Diese Aufgabe verwendet die später eingeführte Zahl √7 („Quadratwurzel aus 7“), definiert als die positive Zahl, deren Quadrat 7 ist: √7 × √7 = 7 (und √7 ≈ 2,65). Alles Weitere beruht allein auf diesem Kapitel.
Wir wollen B = 14 − √7 ohne Wurzel im Nenner schreiben.
a)(4 − √7)(4 + √7) mithilfe einer binomischen Formel und der angegebenen Eigenschaft berechnen.
b) Zähler und Nenner von B mit (4 + √7) (dem konjugierten Term zu 4 − √7) multiplizieren, um B ohne Wurzel im Nenner zu schreiben.
c) Welche binomische Formel „bringt alles zum Funktionieren“? Inwiefern ähnelt dieses Verfahren der Berechnung von 102 × 98?
Was dabei geübt wird
Die binomische Formel in einem neuen Kontext mit einer Quadratwurzel anwenden: Das ist ein Verfahren, das im weiteren Ausbildungsverlauf zur Routine wird und explizit auf die Berechnung von 102 × 98 aus dem Grundlagenweg verweist.
Ausführliche Musterlösung Text der ausgeteilten Musterlösung
Methode. Musterformulierung aus den Kursunterlagen: „mit einer binomischen Formel ausmultiplizieren“ (Teilaufgabe a).
a) Ich verwende (a − b)(a + b) = a2 − b2 mit a = 4 und b = √7.
(4 − √7)(4 + √7) = 42 − (√7)2
= 16 − 7 = 9(√7)2 = 7
b) Das in a) berechnete Produkt beträgt 9 ≠ 0, also sind seine beiden Faktoren 4 − √7 und 4 + √7 von null verschieden. Der Bruch ist definiert, und ich kann Zähler und Nenner mit 4 + √7 multiplizieren:
B = 14 − √7 = 1 × (4 + √7)(4 − √7)(4 + √7)ich multipliziere Zähler und Nenner mit 4 + √7
= 4 + √79Teilaufgabe a)
Kontrolle: 4 − √7 ≈ 1,35, also B ≈ 0,74; und 4 + 2,659 ≈ 0,74. ✓
c) Es ist a2 − b2 = (a − b)(a + b), was „alles zum Funktionieren bringt“: Die Formel verwandelt den Nenner in 42 − (√7)2 = 16 − 7, eine ganze Zahl, da (√7)2 = 7. Dieselbe Idee wie bei 102 × 98 = (100 + 2)(100 − 2): Ich rahme eine unhandliche Zahl durch „Summe × Differenz“ ein, damit das Störende wegfällt.
Die vollständigen Aufgabenblätter. Niveau: französische 3e, entspricht dem 11. Schuljahr (HarmoS), mit Ausblicken auf das Gymnasium.
Säule 4 · An Selbstständigkeit gewinnenAusführliche Musterlösungen · Selbsttests · Gammes du soir (Abendübungen)
Den Schülerinnen und Schülern das Rüstzeug für das selbstständige Arbeiten geben
Damit die Arbeit zu Hause wirklich gewinnbringend ist, sind meine Unterlagen so konzipiert, dass sie die Schülerinnen und Schüler auch ausserhalb des Unterrichts begleiten. Meine Musterlösungen liefern nicht bloss das Ergebnis: Sie rufen die Musterformulierung in Erinnerung, begründen die Wahl des mathematischen Werkzeugs, schlüsseln jeden Zwischenschritt auf und enthalten eine abschliessende Ergebnisprüfung.
Um Grundfertigkeiten im Alltag zu verankern, stehen den Schülerinnen und Schülern zudem digitale Selbsttests sowie die „Gammes du soir“ (Abendübungen) zur Verfügung – ein Ritual aus fünf kurzen Fragen mit auf dem Kopf gedruckten Lösungen, das die Selbstkontrolle fördert. Entdecken Sie unten vier Beispiele:Entdecken Sie unten einige Beispiele:
✍️ Vier Beispiele aus meinen Musterlösungen:✍️ Ein Beispiel aus meinen Musterlösungen:
Aufg. 3.4 b (Termumformungen) · Verschachtelte Differenzen von Quadraten★★★☆
Aufgabenstellung: Hier ist a oder b ein Block in Klammern. Faktorisieren, dann jede Klammer zusammenfassen (und wenn möglich eine Zahl ausklammern): B = 25 − (2x + 3)2.
🔗 Bezug zu den Kursunterlagen: die Musterformulierung „Faktorisieren mit einer binomischen Formel“ (Kursunterlagen zu Termumformungen, S. 18).
🤔 Die Leitfragen, die ich im Unterricht vor dem Aufschreiben stellen lasse:
1. „Gibt es einen offensichtlichen gemeinsamen Faktor?“ Nein.
2. „Wie viele Terme gibt es und welches Rechenzeichen steht dazwischen?“① Zwei Terme, getrennt durch das Zeichen −, und beides sind Quadrate: Ich erkenne a2 − b2 = (a + b)(a − b).
3. „Wer übernimmt die Rolle von a und wer die Rolle von b?“②25 = 52 und (2x+3)2 ist das Quadrat des Blocks (2x+3), also gilt a = 5 und b = 2x+3.
4. „Welche Falle gilt es zu vermeiden?“ Da b ein Block ist, vor dem das Zeichen − in (a − b) steht, muss man die Klammern um (2x+3) stehen lassen, bevor man die Vorzeichen ändert!
✍️ Auf dem Blatt (Ausformulierung der Musterlösung)
① Zwei durch ein −-Zeichen getrennte Terme, und beide sind Quadrate: Es handelt sich um eine Differenz zweier Quadrate.
②25 = 52 und (2x+3)2 ist das Quadrat des Blocks 2x+3, also a = 5 und b = 2x+3.
B = 25 − (2x+3)2 = 52 − (2x+3)2(Schritt ②) B = [5 + (2x+3)][5 − (2x+3)](③ a2−b2 = (a+b)(a−b)) B = (5 + 2x + 3)(5 − 2x − 3)(④ das Minuszeichen kehrt jedes Vorzeichen in der Klammer um) B = (2x + 8)(−2x + 2)= 2(x+4) × 2(−x+1)= 4(x+4)(−x+1)(④ ich klammere aus jedem Faktor 2 aus)
⑤ Kontrolle: Man multipliziert beide Ausdrücke wieder aus: 4(−x2−3x+4) = −4x2−12x+16 und 25−(4x2+12x+9) = −4x2−12x+16. ✓
💡 Warum dieser Detaillierungsgrad: Wer allein zu Hause auf (2x+8)(−2x+8) gekommen ist, erkennt bei Schritt ④ sofort, warum der zweite Faktor falsch war (vergessene Klammern vor −(2x+3)).
Auf der Website · eine Selbsttest-FrageEine Online-Abschlussfrage: Die Schülerin oder der Schüler wählt eine Antwort und erhält sofort eine Erklärung.
Rückblick zum Kapitel über ähnliche Dreiecke: „Ein Dreieck mit dem Flächeninhalt 10 cm2 wird mit dem Faktor k = 3 vergrössert. Wie gross ist sein neuer Flächeninhalt?“
👆 Klicken Sie auf eine Antwort, um die sofortige erklärende Rückmeldung zu testen.
Auf Papier, selbstständig · die Gammes du soir (Abendübungen)Fünf kurze Fragen quer durch die Kapitel (8 Min., ohne Taschenrechner), mit auf dem Kopf gedruckten Antworten.
5 kurze, kapitelübergreifende Fragen zur selbstständigen Bearbeitung (8 Min., ohne Taschenrechner)
1.Brüche29 + 518 berechnen · 2.Arithmetik Primfaktoren von 84.
3.Logik Voraussetzung und Folgerung von „Wenn n ein Vielfaches von 6 ist, dann ist n gerade“.
4.Grundfertigkeit 3. Winkel bei 34° und 59° · 5.ähnliche Dreiecke Seiten 4 ; 5 ; 6 und 6 ; 7,5 ; 9: ähnlich?
Die Beurteilung als Ausgangspunkt für die gezielte Nachbereitung
Eine blosse Ziffernnote zeigt weder den Schülerinnen und Schülern, wie sie Fortschritte machen können, noch der Lehrperson, wo sie gezielt ansetzen soll. Bei einer schriftlichen Prüfung korrigiere ich jede Arbeit von Hand anhand eines in einer Tabellenkalkulation geführten Kriterienrasters, das die Punkteverteilung in präzise, beobachtbare Indikatoren aufschlüsselt. Dieses Raster gewährleistet eine einheitliche Bewertung über alle Arbeiten hinweg – was besonders bei gemeinsamen Prüfungen wertvoll ist – und macht jeden vergebenen Punkt für die Schülerinnen und Schüler sowie ihre Eltern sofort nachvollziehbar.
Dieses Vorgehen bietet einen doppelten Vorteil: Jede Schülerin und jeder Schüler erhält ein übersichtliches Dokument mit gezielten Hinweisen – eine sehr geschätzte Stütze, um die eigene Arbeit mithilfe der ausgeteilten ausführlichen Musterlösung wirksam zu überarbeiten –, während ich über die Tabellenkalkulation mühelos präzise Daten auslesen kann, um den Lernstand der Klasse objektiv statt nur nach Bauchgefühl zu analysieren. Ergänzt durch die Auswertung meiner optisch eingelesenen Multiple-Choice-Tests steuert so jede Beurteilung direkt die gezielte Förderung. Zwei reale Beispiele:
Teil A · Nach einer gemeinsamen PrüfungReales, anonymisiertes Beispiel
Der individuelle Rückmeldebogen für jede Schülerin und jeden Schüler
Gemeinsame Prüfung vom Oktober 2026 in der 3e (entspricht dem 11. Schuljahr (HarmoS)): dieselben Prüfungsaufgaben für alle 3e-Klassen der Schule (Arithmetik, Brüche, Potenzen, Algorithmik), im Team erarbeitet; eine der Aufgaben habe ich verfasst. Im gezeigten Beispiel wurden 12,75/20 Punkte erreicht, ein Wert nahe am Klassendurchschnitt.
1Jede Teilaufgabe ist in beobachtbare Kriterien unterteilt, gekennzeichnet mit ✓ erworben, ◐ im Aufbau oder ! noch nicht erworben. Selbst ein halber Punkt wird so nachvollziehbar.
2Unter jeder Teilaufgabe, die nochmals bearbeitet werden muss, benennt ein Hinweis in einem Satz den Fehler und verweist auf die Musterlösung. Zum Beispiel:
„Deine Methode, um die Uhrzeit zu bestimmen, ist richtig, aber deine Umrechnung von 525 Sekunden in Minuten ist falsch: Überprüfe die Division durch 60 in der Musterlösung.“
3Die letzte Seite übersetzt die Punkte in Lernziele des Lehrplans: erworben ab 75 % der Punkte, im Aufbau zwischen 40 und 75 %, noch nicht erworben darunter.
4Die Schülerin oder der Schüler löst die markierten Aufgaben mithilfe der Musterlösung nochmals auf einem eigenen Blatt und erklärt den eigenen Fehler in Rot oder Grün. In meinen Klassen kann eine sorgfältige Berichtigung bis zu einem Zusatzpunkt einbringen.
Die Rückmeldebögen werden über einen von mir entwickelten Korrektur-Workflow erstellt: detailliertes Kriterienraster, individuell formulierte Hinweise, LaTeX-Layout, ein eigener Bogen pro Schülerin und Schüler für die gesamte Klasse. Die Noten folgen der französischen Skala: maximal 20 Punkte, Bestehensgrenze bei 10 (entspricht der Note 4 auf der Schweizer Skala von 1 bis 6).
Echter Rückmeldebogen, Name und Klasse entfernt; dies ist eine Übersetzung des französischen Originals. Klicken Sie auf eine Seite, um sie zu vergrössern und durch den Bogen zu blättern.
Was das Raster über die gesamte Klasse zeigt
Zusammengefasst ergeben die Kriterien aller Rückmeldebögen die Übersicht über die Klasse der Schülerin bzw. des Schülers aus dem Beispiel: 30 Prüfungsarbeiten, 28 Fragen (ohne Bewertung der Sorgfalt und Bonusfrage). Jede Zeile steht anonym für eine Schülerin oder einen Schüler, von der besten Note oben bis zur niedrigsten unten; jede Spalte steht für eine Frage.
Korrigierte Arbeiten30eine Klasse
Durchschnitt12,2/20Median 13
ggT · kgV84 % · 78 %Lösungsquote der beiden Textaufgaben
Wahr oder falsch mit Begründung37 %Priorität für die Nachbearbeitung
erworben (75 % der Punkte oder mehr)im Aufbau (40 bis 75 %)noch nicht erworben (weniger als 40 %)Frage nicht bearbeitet
Aufg. 0
Aufg. 1
Aufg. 2
Aufg. 3
Aufg. 4
Aufg. 5
Aufg. 6
Aufg. 7
Aufg. 8
Gemeinsame Prüfung vom Oktober 2026, echte Daten, anonymisierte Schülerinnen und Schüler. Fahren Sie mit der Maus über ein Feld oder tippen Sie darauf, um die Frage und die Lösungsquote anzuzeigen.Lösungsquote der Klasse, Aufgabe für AufgabeJe nach Aufgabe zwischen 37 % (Wahr oder falsch mit Begründung) und 84 % (Textaufgabe zum ggT) der Punkte.
Aufgabe
Was geprüft wird
Lösungsquote
Aufg. 0
Definitionen: Primzahl, gerade Zahl
76 %
Aufg. 1
Wahr oder falsch mit Begründung (Teilbarkeit, Division mit Rest, Primzahlen)
37 %
Aufg. 2
Textaufgabe zum kgV: die Girlanden
78 %
Aufg. 3
Bruchrechnungen
66 %
Aufg. 4
Textaufgabe zum ggT: die Blumensträusse
84 %
Aufg. 5
Division mit Rest
50 %
Aufg. 6
Potenzen und Primfaktorzerlegung
45 %
Aufg. 7
Algorithmus: Teilbarkeit durch 13
45 %
Aufg. 8
Position in einem sich wiederholenden Muster
52 %
Die 28 Fragen im Detail
Frage
Lösungsquote
Erworben
Im Aufbau
Noch nicht erworben
Nicht bearbeitet
0.1
68 %
14
13
1
2
0.2
83 %
22
6
1
1
1.1
63 %
18
2
9
1
1.2
23 %
4
6
16
4
1.3
48 %
12
5
10
3
1.4
37 %
8
6
11
5
1.5
22 %
0
13
13
4
1.6
27 %
5
6
15
4
2.1
85 %
26
1
2
1
2.2
65 %
17
5
4
4
3.1
73 %
20
6
4
0
3.2
55 %
11
11
6
2
3.3
62 %
20
3
1
6
3.4
68 %
18
5
5
2
4.1
87 %
25
2
3
0
4.2
78 %
24
0
1
5
5.1
62 %
13
11
3
3
5.2
38 %
9
5
8
8
6.1
43 %
3
20
4
3
6.2
50 %
7
16
3
4
6.3
40 %
6
12
8
4
6.4
45 %
10
7
3
10
7.1
37 %
10
2
3
15
7.2
58 %
15
5
3
7
7.3
47 %
12
4
6
8
7.4
48 %
11
7
2
10
8.1
48 %
12
5
2
11
8.2
55 %
16
1
0
13
Was ich daraus schliesse.
Von der Klasse erworben: die Aufgaben zu ggT und kgV, zu 84 % bzw. 78 % erfolgreich gelöst.
Mit allen nochmals aufzugreifen: Die Wahr-oder-falsch-Fragen mit Begründung bringen nur 37 % der Punkte; 16 von 30 Schülerinnen und Schülern erreichen dabei weniger als die Hälfte der Punkte.
Ein fehlender Zwischenschritt: Bei Frage 6.1 geben 18 der 27 Schülerinnen und Schüler, die sie bearbeitet haben, die richtige Zerlegung von P × Q an, ohne den begründenden Schritt, die Addition der Exponenten, aufzuschreiben. Die Note zeigt das nicht; die Kriterien schon.
Am Ende der Prüfung: Die unbeantworteten Fragen konzentrieren sich auf die schwächeren Arbeiten (bei den letzten sechs Fragen entfallen 55 von 90 grauen Feldern auf die untere Klassenhälfte, gegenüber 9 in der oberen Hälfte): ein Punkt zur Zeiteinteilung, den ich im gezielten Förderatelier aufgreife.
Teil B · Meine diagnostischen Multiple-Choice-TestsReale Daten, Oktober 2026
Wie ich meine Multiple-Choice-Tests aufbaue
Ich konzipiere jeden Multiple-Choice-Test ausgehend von den Kursunterlagen und den Aufgabenblättern des Kapitels:
1Von den Kursunterlagen ausgehen. Jede Frage greift einen im Unterricht behandelten Aufgabentyp auf, aber nie mit denselben Zahlenwerten: Die Schülerinnen und Schüler müssen ihre Methode anwenden, nicht ihr Gedächtnis.
2Jede falsche Antwort gezielt konstruieren. Jede angebotene Falschantwort – jeder sogenannte „Distraktor“ – ist das genaue Ergebnis eines häufigen Fehlers: ein Bruchteil, der vom Ganzen statt vom Rest berechnet wurde, eine vergessene Einheitenumrechnung, ein falsch angepasster Exponent. Ein Kreuz bei einer falschen Antwort weist somit auf einen genau bestimmten Fehler hin.
3Auch das Argumentieren prüfen. Mehrere Fragen verlangen kein Rechenergebnis: diejenige Formulierung auswählen, die tatsächlich einen Beweis liefert, Fehler in einer Schülerarbeit auffinden oder ohne Rechnung begründen, warum ein Ergebnis falsch ist.
4Gewichten und überprüfen. Jede Frage zählt je nach Komplexität 1, 2 oder 3 Punkte; nur eine Antwort ist richtig, und für eine falsche Antwort gibt es keinen Punktabzug. Vor dem Druck werden alle Lösungen nochmals nachgerechnet.
Für die Durchführung und Korrektur verwende ich die freie Software Auto-Multiple-Choice (AMC). Ich verfasse die Prüfung in LaTeX; AMC druckt für jede Schülerin und jeden Schüler eine personalisierte Fassung mit gemischten Fragen und Antworten, was das Abschreiben unter Sitznachbarn einschränkt; nach der Prüfung liest das Programm die angekreuzten Felder auf den eingescannten Bögen aus. Das Bewertungsschema wird einheitlich angewendet, alle erhalten ihren korrigierten Bogen zurück, und jedes angekreuzte Feld bleibt gespeichert: Meine Zeit fliesst in die Fehleranalyse und die Aufarbeitung im Unterricht.
Was diese Arbeit zeigt. Bei einer Note von 15/20 fällt zunächst nichts auf; dennoch ist dieser Schüler in alle vier unten untersuchten Fallen getappt. Jede seiner falsch angekreuzten Antworten folgt einem richtigen Gedankengang – bis auf jeweils einen Punkt, der mir genau verrät, was noch nicht erworben ist.
Der Verein (Frage 8 auf seinem Bogen). Er hat „16 vom Rest“ als „16 vom Ganzen“ aufgefasst. Seine Bruchrechnungen stimmen; was noch nicht erworben ist, ist der Bruchteil eines Bruchteils: 16 vom Rest entspricht 16 × 13 = 118 des Vereins.
Die Bakterien (Frage 10 auf seinem Bogen). Er hat in Nanogramm gerechnet, ohne in Gramm umzurechnen. Mit den Zehnerpotenzen geht er sicher um; was noch nicht erworben ist, ist der Reflex, in die geforderte Einheit umzurechnen: Die im Aufgabentext angegebene Gleichung 1 ng = 10−9 g fliesst nicht in seine Rechnung ein.
„Wie viel Mal“ (Frage 19 auf seinem Bogen). Er hat 0,9 × 105 als 9 × 105 geschrieben. Seine Berechnung des Quotienten stimmt; was noch nicht erworben ist, ist die Anpassung des Exponenten in der wissenschaftlichen Schreibweise: Der Übergang von 0,9 zu 9 entspricht einer Multiplikation mit 10 und erfordert, den Exponenten um 1 zu verringern (0,9 × 105 = 9 × 104).
Die Verdünnungen (Frage 29 auf seinem Bogen). Er hat fünf Verdünnungen statt sechs gezählt. Den Übergang von wiederholten Divisionen durch 10 zu einer Zehnerpotenz beherrscht er; was noch nicht erworben ist, ist die Übersetzung des Aufgabentextes in einzelne Schritte: „Man verdünnt […] und führt dann 5 weitere Verdünnungen durch“ ergibt insgesamt sechs. Es handelt sich um einen Lese-, nicht um einen Rechenfehler.
Erste Seite der echten Arbeit eines Schülers mit der Note 15/20, genau so, wie er sie zurückerhalten hat: von AMC korrigiert, mit dem zur Note passenden Stempel. Name unkenntlich gemacht. Dies ist eine Übersetzung des französischen Originals, mit denselben Antworten, Punkten und demselben Stempel. Klicken Sie, um die gesamte Arbeit anzusehen.
richtiges Feld angekreuztfalsches Feld angekreuztrichtige Antwort nicht angekreuzt · Punktzahl jeder Frage am Rand
Was die falschen Antworten der gesamten Klasse zeigen
Derselbe Multiple-Choice-Test mit 30 Fragen (Brüche, Potenzen, wissenschaftliche Schreibweise), durchgeführt in meinen beiden Klassen der 3e (entspricht dem 11. Schuljahr (HarmoS)). Die Auszählung der angekreuzten Felder zeigt, welche Fehler nochmals aufgegriffen werden müssen – und mit wie vielen Schülerinnen und Schülern.
Bewertete Arbeiten57zwei Klassen
Durchschnitt11,8/20Median 11,8
Brüche · Potenzen70 % · 74 %durchschnittliche Erfolgsquote pro Frage
Wissenschaftliche Schreibweise52 %Priorität bei der Aufarbeitung
Übersetzungen der französischen Originaldokumente.
Hier sind die vier anspruchsvollsten der dreissig Fragen, diesmal nummeriert wie in der Musterfassung (auf den einzelnen Bögen sind die Fragen gemischt): Sie zeigen am deutlichsten, was nochmals aufgegriffen werden muss. Zum Vergleich: Die durchschnittliche Erfolgsquote pro Frage liegt bei 70 % für Brüche und bei 74 % für Potenzen. Wählen Sie eine Frage aus, um zu sehen, was die Klasse geantwortet hat.
Frage 26 (3 Punkte). In einem Verein macht 16 der Mitglieder Judo, 12 spielt Tennis, 16 vom Rest schwimmt und die übrigen 30 klettern. Wie viele Mitglieder hat der Verein?
18056 %„16 vom Rest“ wird als „16 vom Ganzen“ gelesen: Dann bliebe 16 des Vereins übrig, entsprechend den 30 Mitgliedern.
3616 %Der Rest (36 Mitglieder) wird berechnet, ohne anschliessend auf die Gesamtzahl zurückzurechnen.
108 ✓14 %Richtige Antwort: Schwimmen macht 16 × 13 = 118 des Vereins aus, Klettern 518.
9014 %Das Schwimmen wird vergessen: Die 30 Mitglieder würden dann das verbleibende Drittel darstellen.
Was ich daraus mache. Mehr als die Hälfte der Klasse hat denselben Distraktor gewählt: Das ist kein Thema für eine kleine Gruppe, sondern ein Begriff, der mit der ganzen Klasse nochmals aufgegriffen werden muss. Ich arbeite ihn mithilfe eines Balkenmodells auf, bei dem der Rest zu einer neuen Einheit wird und „16 vom Rest“ als Produkt geschrieben wird.
Von den Fehlern zu den Arbeitsgruppen3 Fehler mit der ganzen Klasse aufgearbeitet, 3 im gezielten Förderatelier behandelt
Schülerzahlen Bogen für Bogen anhand der angekreuzten Felder ermittelt. Eine Schülerin oder ein Schüler kann in mehreren Zeilen vorkommen.
Erkannter Fehler (Frage der Musterfassung)
Schülerinnen und Schüler
Entscheidung
Einheitenumrechnung vergessen oder fehlerhaft (Nr. 15 und Nr. 27)
41 · 72 %
Aufarbeitung mit der ganzen Klasse
Mantisse ausserhalb des Intervalls von 1 bis 10 belassen (Nr. 16, 20 und 24)
35 · 61 %
Aufarbeitung mit der ganzen Klasse
„Bruchteil vom Rest“ als Bruchteil vom Ganzen gelesen (Nr. 26)
32 · 56 %
Aufarbeitung mit der ganzen Klasse
5 statt 6 Verdünnungen gezählt (Nr. 5)
19 · 33 %
gezieltes Förderatelier
600 ohne den Faktor 102 geschrieben (Nr. 15)
18 · 32 %
gezieltes Förderatelier
Addition ohne Angleichung der Zehnerpotenzen (Nr. 16)
17 · 30 %
gezieltes Förderatelier
Vollständige Kapitel
Zwei vollständige Kapitel, genau so, wie meine Schülerinnen und Schüler sie erhalten
Die Online-Kursunterlagen mit ihren interaktiven Figuren, die Kursunterlagen als PDF, das Aufgabenblatt in zwei Fassungen (vollständige und reduzierte Fassung), die Musterlösungen, die Gammes du soir (Abendübungen) sowie – für die Lehrperson – der Lektionsleitfaden und die Tafelbild-Planung für jede Lektion, inspiriert vom japanischen Bansho.
Ich bringe mich gerne in die Ausarbeitung gemeinsamer Stoffplanungen und Stufenprüfungen ein. Gemeinsame kriterienorientierte Bewertungsraster sorgen für eine einheitliche Benotung über die Klassen hinweg, und die kollegiale Auswertung der Ergebnisse hilft mir, gezielt jene Begriffe zu erkennen, die ich mit meinen Schülerinnen und Schülern noch festigen muss.
Kontakt zu den Familien
Nachvollziehbare Begleitung zu Hause
Ich achte darauf, meine Kurs-, Übungs- und Prüfungsunterlagen so zu strukturieren, dass sie das selbstständige Arbeiten bestmöglich unterstützen. Die Anforderungen werden darin transparent ausgewiesen und der Lernstand übersichtlich dargestellt, damit die Eltern konkrete Anhaltspunkte haben, um ihr Kind zu begleiten und zu unterstützen.
Teamarbeit & Materialaustausch
Teilen und sich anpassen
Die kollegiale Zusammenarbeit liegt mir am Herzen: Ich teile meine Unterlagen gerne und lasse gleichzeitig die Erfahrungen meiner Kolleginnen und Kollegen in meinen Unterricht einfliessen. Im selben Geist passe ich meine Unterrichtsreihen an die Gepflogenheiten der Schule, an fächerübergreifende Projekte und an die Vereinbarungen der Fachschaft Mathematik an.
Bildungsforschung und Fachdidaktik
Worauf sich diese fünf Säulen stützen
Mein Vorgehen ist kein Zufallsprodukt: Es ist aus der Verbindung meiner Unterrichtserfahrung mit einer regelmässigen Auseinandersetzung mit der Bildungsforschung gewachsen. Diese Standardwerke der Fachdidaktik und der Kognitionspsychologie leiten mich dabei, wie ich meine Kursunterlagen strukturiere, meine Aufgaben abstufe und meine Prüfungen auswerte:
Säule 1 · Den Unterrichtsstoff verstehen
Expliziter Unterricht, gestützt auf praktisches Erproben
Forschungsarbeiten zur kognitiven Belastung zeigen, dass Schülerinnen und Schüler ihr Arbeitsgedächtnis rasch überlasten, wenn sie mit einem neuen Begriff allein gelassen werden. Deshalb setze ich auf expliziten Unterricht (Vorstellen und Erklären des Unterrichtsstoffs, „On lit…“ („man liest…“) / „En clair…“ („im Klartext…“), mündlicher Austausch) in Verbindung mit gezieltem praktischem Erproben, um eine Invariante oder ein Gegenbeispiel zu beobachten.
🔬 Forschung:Kirschner, Sweller & Clark (2006) (Scheitern des unbegleiteten Entdeckens); Rosenshine (2012) und Gauthier, Bissonnette & Richard (2013) (expliziter Unterricht); Dehaene (2018).
Säule 2 · Die mathematische Formulierung beherrschen
Ausgearbeitete Lösungsbeispiele und Musterformulierungen
Das Studium ausgearbeiteter Lösungsbeispiele vor dem eigenen Üben entlastet das Arbeitsgedächtnis von Lernenden am Anfang. Daher enthalten die Kursunterlagen Musterformulierungen, und die Musterlösungen geben jeweils an, welches Werkzeug gewählt wird und warum.
Wenn man jeweils nur ein einziges Merkmal verändert, wird erkennbar, worauf es bei einem Begriff ankommt; das Mischen von Aufgaben aus verschiedenen Kapiteln zwingt dazu, die passende Methode selbst auszuwählen. Die drei Wege ermöglichen es allen, auf dem eigenen Niveau zu üben.
🔬 Forschung:Gu, Huang & Marton (2004) (systematische Variation Bianshi); Rohrer, Dedrick & Stershic (2015) (verschachteltes Üben und Vernetzung der Begriffe).
Säule 4 · An Selbstständigkeit gewinnen
Sich regelmässig selbst testen, um den Stoff zu behalten
Sich selbst zu testen hilft beim Behalten deutlich mehr als blosses Wiederlesen. Daher gibt es auf der Website Selbsttests sowie die Gammes du soir (Abendübungen); und da Kursunterlagen, Aufgabenblätter und Musterlösungen dieselben Nummern für die Musterformulierungen verwenden, finden die Schülerinnen und Schüler die benötigte Methode selbstständig wieder.
🔬 Forschung:Roediger & Karpicke (2006) (Testeffekt: Sich selbst zu testen fördert das Behalten).
Säule 5 · Den Förderbedarf gezielt erfassen
Eine Beurteilung, die Schülerinnen und Schülern sowie der Lehrperson Aufschluss gibt
Die Beurteilung dient dazu, zu erkennen, was nochmals aufgegriffen werden muss. Bei den schriftlichen Prüfungen schlüsselt der individuelle Rückmeldebogen jede Aufgabe Kriterium für Kriterium auf und fordert die Schülerin oder den Schüler dazu auf, den eigenen Fehler zu erklären; bei den Multiple-Choice-Tests zeigen die angekreuzten Antworten, welche Fehler mit der ganzen Klasse und welche in Kleingruppen besprochen werden sollten.
🔬 Forschung:Black & Wiliam (1998) (Assessment for Learning); Hattie & Timperley (2007) (The Power of Feedback: Rückmeldung zum Lernprozess und zur Selbstregulation statt nur zur blossen Note); Sadler (1989).
Kontaktdaten
Für einen Austausch, ein Vorstellungsgespräch oder eine Probelektion stehe ich gerne zur Verfügung:
